18) Образующая конуса равна 12 \(\text{см}\) \) и составляет с плоскостью основания угол 30°. Найдите объем конуса, считая \( \pi = 3 \). (3 балла)

Решение:

Пусть \( l \) — образующая конуса, \( R \) — радиус основания, \( h \) — высота конуса.

Из условия известно:

• \( l = 12 \text{ см} \)
• Угол между образующей и плоскостью основания \( \alpha = 30^{\circ} \)

1. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом и образующей, угол между гипотенузой (образующей) и катетом (радиусом) равен \( 30^{\circ} \).
2. Найдём высоту \( h \) и радиус \( R \):
• \( h = l \cos \alpha = 12 \cdot \cos 30^{\circ} = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \) см.
• \( R = l \sin \alpha = 12 \cdot \sin 30^{\circ} = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \) см.
3. Объем конуса вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} \pi R^2 h \).
4. Подставим значения, считая \( \pi = 3 \):
5. \( V = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot (6 \text{ см})^2 \cdot (6\sqrt{3} \text{ см}) \).
6. \( V = 1 \cdot 36 \text{ см}^2 \cdot 6\sqrt{3} \text{ см} \).
7. \( V = 216\sqrt{3} \text{ см}^3 \).

Ответ: \( 216\sqrt{3} \text{ см}^3 \).