17. Сколько времени должен работать насос мощностью 50 кВт, чтобы из шахты глубиной 150 м откачать воду объёмом 200 м³.

Решение:

Мощность \( N \) связана с работой \( A \) и временем \( t \) соотношением: \( N = \frac{A}{t} \).

Из этой формулы выразим время: \( t = \frac{A}{N} \).

Работа, совершаемая насосом, равна подъёму воды на заданную высоту. Работа \( A = P \cdot h \), где \( P \) — вес поднимаемой воды, а \( h \) — глубина шахты.

Вес воды \( P = m \cdot g \). Массу воды \( m \) найдём через её объём \( V \) и плотность \( \rho_{воды} \approx 1000 \text{ кг/м}^3 \) по формуле \( m = \rho \cdot V \).

Дано:

• \( N = 50 \text{ кВт} = 50000 \text{ Вт} \)
• \( h = 150 \text{ м} \)
• \( V = 200 \text{ м}^3 \)
• \( \rho_{воды} = 1000 \text{ кг/м}^3 \)
• \( g \approx 9.8 \text{ м/с}^2 \)

Найти:

• \( t \) — время

1. Вычислим массу откачиваемой воды:

\[ m = \rho_{воды} \cdot V = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 200 \text{ м}^3 = 200000 \text{ кг} \]

2. Вычислим вес откачиваемой воды:

\[ P = m \cdot g = 200000 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 = 1960000 \text{ Н} \]

3. Вычислим работу, совершаемую насосом:

\[ A = P \cdot h = 1960000 \text{ Н} \cdot 150 \text{ м} = 294000000 \text{ Дж} = 294000 \text{ кДж} \]

4. Вычислим время работы насоса:

\[ t = \frac{A}{N} = \frac{294000000 \text{ Дж}}{50000 \text{ Вт}} = 5880 \text{ с} \]

Переведём в минуты: \( 5880 \text{ с} / 60 \text{ с/мин} = 98 \text{ мин} \).

Ответ: Насос должен работать 5880 секунд (или 98 минут).