17. Тип 17 № 323537 Диагональ прямоугольника образует угол 51° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть диагонали пересекаются в точке O. Тогда \( AO = BO = CO = DO \).

Рассмотрим треугольник, образованный диагональю и сторонами прямоугольника. Пусть диагональ AC образует угол 51° со стороной AB. Тогда \( \angle CAB = 51^\circ \).

В прямоугольном \( \triangle ABC \), \( \angle ACB = 90^\circ - \angle CAB = 90^\circ - 51^\circ = 39^\circ \).

Рассмотрим \( \triangle AOB \). \( AO = BO \) (половины равных диагоналей), значит \( \triangle AOB \) — равнобедренный.

Угол \( \angle ABO \) равен \( \angle BAO \) (или \( \angle CAB \)) = 51°.

Угол между диагоналями \( \angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - (51^\circ + 51^\circ) = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ \).

Рассмотрим \( \triangle BOC \). \( BO = CO \), значит \( \triangle BOC \) — равнобедренный.

Угол \( \angle OBC \) равен \( \angle ACB = 39^\circ \) (так как \( \angle ABC = 90^\circ \), \( \angle OBC = \angle ABC - \angle ABO = 90^\circ - 51^\circ = 39^\circ \)).

Угол между диагоналями \( \angle BOC = 180^\circ - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^\circ - (39^\circ + 39^\circ) = 180^\circ - 78^\circ = 102^\circ \).

Острый угол между диагоналями равен \( 78^\circ \).

Ответ: 78.