17. Точка О является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке О, проходящей через вершину А, равен 10. Найдите площадь квадрата ABCD.

Задание 17. Квадрат и окружность

Дано:

• Квадрат ABCD.
• O — середина стороны CD.
• Радиус окружности с центром в O, проходящей через A, равен 10.

Найти: площадь квадрата ABCD.

Решение:

1. Обозначим сторону квадрата как a.
2. Так как O — середина CD, то CO = OD = a/2.
3. Радиус окружности, проходящей через вершину A, равен 10. Это значит, что расстояние от O до A равно 10.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOD (угол D = 90°).
5. Стороны этого треугольника: OD = a/2, AD = a, а гипотенуза AO = 10.
6. Применим теорему Пифагора: \( OD^2 + AD^2 = AO^2 \)
7. Подставим значения: \( (\frac{a}{2})^2 + a^2 = 10^2 \)
8. \( \frac{a^2}{4} + a^2 = 100 \)
9. Умножим всё на 4, чтобы избавиться от дроби: \( a^2 + 4a^2 = 400 \)
10. \( 5a^2 = 400 \)
11. \( a^2 = \frac{400}{5} = 80 \).
12. Площадь квадрата равна \( a^2 \).

Ответ: площадь квадрата ABCD равна 80.