Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 20. АС и BD - диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 13°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.Фото задания

Ответ:

Задание 20. Окружность и углы

Дано:

  • Окружность с центром O.
  • AC и BD — диаметры.
  • Угол АСВ = 13°.

Найти: угол AOD.

Решение:

  1. Угол АСВ вписанный и опирается на дугу AB. Величина центрального угла, опирающегося на ту же дугу, равна удвоенной величине вписанного угла.
  2. Центральный угол, опирающийся на дугу AB, — это угол AOB.
  3. Угол AOB = 2 * угол ACB = 2 * 13° = 26°.
  4. Угол AOB и угол COD являются вертикальными углами, так как они образованы пересечением двух прямых (диаметров AC и BD).
  5. Следовательно, угол COD = угол AOB = 26°.
  6. Угол AOD и угол COD являются смежными углами, так как они образуют развернутый угол ACD (или BCD). Нет, они образуют развернутый угол AOC.
  7. Так как AC — диаметр, то угол AOC равен 180°.
  8. Угол AOD + угол COD = 180°.
  9. Угол AOD = 180° - угол COD = 180° - 26° = 154°.
  10. Альтернативный путь:
  11. Угол ACB = 13°.
  12. Так как AC - диаметр, то угол ABC равен 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр).
  13. В треугольнике ABC: угол BAC = 180° - 90° - 13° = 77°.
  14. Угол BAC — это центральный угол, опирающийся на дугу BC.
  15. Значит, центральный угол BOC = 77°.
  16. Угол AOD и угол BOC являются вертикальными углами.
  17. Следовательно, угол AOD = угол BOC = 77°.
  18. Проверка:
  19. Угол AOB = 2 * 13° = 26°.
  20. Угол BOC = 77°.
  21. 26° + 77° = 103°. Это не 180°. Что-то не так.
  22. Давайте вернемся к первому способу.
  23. Угол AOB = 2 * угол ACB = 2 * 13° = 26°. (Это верно, так как вписанный угол опирается на дугу AB).
  24. Угол AOD и угол BOC — вертикальные.
  25. Угол AOB и угол COD — вертикальные.
  26. Угол AOB = 26°. Значит, угол COD = 26°.
  27. Угол AOC — развернутый, 180°.
  28. Угол AOD + угол COD = 180°.
  29. Угол AOD = 180° - 26° = 154°.
  30. Еще раз проверка:
  31. Если угол AOD = 154°, тогда угол BOC = 154° (вертикальные).
  32. Угол AOB = 180° - 154° = 26°.
  33. Угол COD = 180° - 154° = 26°.
  34. Вписанный угол ACB опирается на дугу AB. Центральный угол, опирающийся на дугу AB, — это угол AOB.
  35. Угол AOB = 26°.
  36. Вписанный угол ACB = AOB / 2 = 26° / 2 = 13°. Это совпадает с условием.
  37. Значит, угол AOD = 154°.

Ответ: угол AOD равен 154°.