18. На отрезке АВ выбрана точка С так, что АС = 72 и ВС = 3. Построена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки В к этой окружности.

Задание 18. Касательная к окружности

Дано:

• Точка C на отрезке AB.
• AC = 72.
• BC = 3.
• Окружность с центром в A, проходящая через C.

Найти: длину отрезка касательной, проведенной из точки B к окружности.

Решение:

1. Длина отрезка AB = AC + BC = 72 + 3 = 75.
2. Радиус окружности с центром A, проходящей через C, равен AC = 72.
3. Пусть BT — отрезок касательной, проведенной из точки B к окружности.
4. По свойству касательной, радиус AT, проведенный в точку касания T, перпендикулярен касательной BT.
5. Следовательно, треугольник ABT является прямоугольным с прямым углом ATB.
6. В этом треугольнике:
• Гипотенуза — AB = 75.
• Катет — AT (радиус окружности) = 72.
• Катет — BT (длина касательной).
7. Применим теорему Пифагора: \( AT^2 + BT^2 = AB^2 \)
8. \( 72^2 + BT^2 = 75^2 \)
9. \( 5184 + BT^2 = 5625 \)
10. \( BT^2 = 5625 - 5184 = 441 \)
11. \( BT = \text{sqrt}(441) = 21 \).

Ответ: длина отрезка касательной равна 21.