19. Площадь прямоугольного треугольника равна 32√3. Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Задание 19. Прямоугольный треугольник

Дано:

• Прямоугольный треугольник.
• Площадь \( S = 32\text{√}3 \).
• Один острый угол равен 60°.

Найти: длину катета, прилежащего к углу 60°.

Решение:

1. Обозначим катеты прямоугольного треугольника как a и b, а гипотенузу как c.
2. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: \( S = \frac{1}{2}ab \).
3. Мы знаем, что \( \frac{1}{2}ab = 32\text{√}3 \), значит, \( ab = 64\text{√}3 \).
4. Пусть данный острый угол равен 60°. Обозначим катет, прилежащий к этому углу, как a, а противолежащий катет — как b.
5. В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему: \( \text{tg}(60^\text{o}) = \frac{b}{a} \).
6. Знаем, что \( \text{tg}(60^\text{o}) = \text{√}3 \).
7. Значит, \( \frac{b}{a} = \text{√}3 \), откуда \( b = a\text{√}3 \).
8. Подставим это выражение для b в уравнение для произведения катетов: \( a \times (a\text{√}3) = 64\text{√}3 \)
9. \( a^2\text{√}3 = 64\text{√}3 \)
10. Разделим обе части на \( \text{√}3 \): \( a^2 = 64 \)
11. \( a = \text{sqrt}(64) = 8 \).
12. Катет, прилежащий к углу 60°, равен a.

Ответ: длина прилежащего катета равна 8.