17. В окружности с центром О АС и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 38°. Найдите вписанный угол АСВ. Ответ дайте в градусах.

Задание 17. Центральный и вписанный углы

Дано:

• Окружность с центром О.
• АС и BD — диаметры.
• Центральный угол \( \angle AOD = 38^\circ \).

Найти: вписанный угол \( \angle ACB \) (в градусах).

Решение:

1. Центральный угол \( \angle AOD \) равен 38°. Дуга AD, на которую он опирается, также равна 38°.
2. Угол BOC является вертикальным углом к углу AOD, поэтому \( \angle BOC = \angle AOD = 38^\circ \).
3. Угол ACB является вписанным углом, опирающимся на дугу AB.
4. Угол AOD и угол BOC являются смежными с углами, которые определяют дугу AB. Угол AOB и угол COD являются смежными с углом AOD.
5. Дуга AB равна \( 180^\circ - \angle AOD = 180^\circ - 38^\circ = 142^\circ \) (потому что AC - диаметр, угол AOB = 180 - угол BOC = 180 - 38 = 142. Дуга AB = угол AOB).
6. Вписанный угол ACB опирается на дугу AB. Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается: \[ \angle ACB = \frac{1}{2} \text{дуга } AB \]
7. Подставим значение дуги AB: \[ \angle ACB = \frac{1}{2} \cdot 142^\circ = 71^\circ \]

Ответ: 71°.