18. Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 0,6. Диаметр описанной около него окружности равен 10. Найдите площадь прямоугольника.

Задание 18. Прямоугольник и описанная окружность

Дано:

• Прямоугольник ABCD.
• Синус угла между стороной и диагональю равен 0,6 (например, \( \sin(\angle CAB) = 0,6 \)).
• Диаметр описанной окружности \( d = 10 \).

Найти: площадь прямоугольника S.

Решение:

1. Диаметр описанной около прямоугольника окружности равен диагонали прямоугольника. Следовательно, диагональ \( AC = 10 \).
2. Пусть \( \angle CAB = \alpha \). По условию, \( \sin(\alpha) = 0,6 \).
3. В прямоугольном треугольнике ABC, \( \sin(\angle CAB) = \frac{BC}{AC} \).
4. Значит, \( 0,6 = \frac{BC}{10} \).
5. Отсюда находим сторону BC: \( BC = 0,6 \cdot 10 = 6 \).
6. Используем теорему Пифагора для нахождения стороны AB: \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \)
7. \( AB^2 + 6^2 = 10^2 \)
8. \( AB^2 + 36 = 100 \)
9. \( AB^2 = 100 - 36 = 64 \)
10. \( AB = \sqrt{64} = 8 \).
11. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: \[ S = AB \cdot BC \]
12. \( S = 8 \cdot 6 = 48 \).

Ответ: 48.