17. В параллелограмме ABCD диагональ AC в два раза больше стороны AB и ∠ACD=143°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Обозначим \(AB=a\). Тогда \(AC=2a\). В треугольнике ACD угол между \(AC\) и \(CD\) равен \(143°\), поэтому угол между направлениями \(AC\) и \(AB\) также равен \(143°\).

Рассмотрим вектор диагонали \(BD\): \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}\). Угол \(\varphi\) между диагоналями удовлетворяет соотношению

\(\cos\varphi=\sqrt{\dfrac{1-\cos143°}{2}}\).

Так как \(\cos143°=-\cos37°\), то

\(\cos\varphi=\sqrt{\dfrac{1+\cos37°}{2}}=\cos18.5°\).

Следовательно, \(\varphi=18.5°\).

Ответ: 18,5°.