17. В равнобедренной трапеции основания равны 5 и 9, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где основания равны \( a = 9 \) и \( b = 5 \). Угол при основании равен \( \alpha = 45^{\circ} \).

Проведем высоты BH и CK из вершин B и C на основание AD. Тогда AH = KD = \( \frac{a-b}{2} = \frac{9-5}{2} = 2 \).

В прямоугольном треугольнике ABH, угол BAH равен \( 45^{\circ} \), значит, треугольник ABH — равнобедренный. Тогда высота BH = AH = 2.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \).

Подставляем значения: \( S = \frac{9+5}{2} \cdot 2 = \frac{14}{2} \cdot 2 = 14 \).

Ответ: 14