17. В равнобедренной трапеции основания равны 5 и 9, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.

Привет! Давай разберемся с этой задачей по геометрии.

Что нам дано:

• Трапеция равнобедренная.
• Основания: $$a = 9$$ (большее), $$b = 5$$ (меньшее).
• Угол между боковой стороной и большим основанием: $$45^\circ$$.

Что нужно найти: Площадь трапеции.

Как будем решать:

Площадь трапеции находится по формуле: $$S = \frac{a+b}{2} \times h$$, где $$h$$ — высота трапеции.

Нам известны основания, но не хватает высоты. Давай найдем ее!

1. Нарисуем высоту: Из вершин меньшего основания (где углы $$45^\circ$$) опустим высоты на большее основание. Получится прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника по краям.
2. Найдем основание прямоугольника: Оно будет равно меньшему основанию трапеции, то есть 5.
3. Найдем основания прямоугольных треугольников: Общая длина большего основания (9) минус длина средней части (5) даст нам сумму двух оснований боковых треугольников: $$9 - 5 = 4$$. Поскольку трапеция равнобедренная, эти основания равны: $$4 \div 2 = 2$$.
4. Найдем высоту: В каждом из прямоугольных треугольников у нас есть катет (половина разности оснований), равный 2, и угол $$45^\circ$$ при основании. Так как один угол $$90^\circ$$ (прямой), а второй $$45^\circ$$, то третий угол тоже будет $$45^\circ$$ ($$180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$$). Треугольник с такими углами — равнобедренный прямоугольный. Значит, второй катет (который является высотой трапеции) тоже равен 2.
5. Вычисляем площадь: Теперь у нас есть все данные: $$a = 9$$, $$b = 5$$, $$h = 2$$. Подставляем в формулу: $$S = \frac{9+5}{2} \times 2 = \frac{14}{2} \times 2 = 7 \times 2 = 14$$.

Ответ: 14