22. Постройте график функции y = \( \frac{1}{2} \left( \frac{x}{5,5} + \frac{5,5}{x} \right) \) и определите, при каких значениях т прямая y=т имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

Рассмотрим функцию \( y = \frac{1}{2} \left( \frac{x}{5.5} + \frac{5.5}{x} \right) \). Область определения функции: \( x \neq 0 \) и \( x \neq 5.5 \) (если \( x = 5.5 \), то \( \frac{x}{5.5} = 1 \) и \( \frac{5.5}{x} = 1 \), что не является проблемой, но для упрощения анализа рассмотрим случай, когда \( x \neq 5.5 \)).

Заметим, что \( y(x) = \frac{1}{2} \left( \frac{x}{5.5} + \frac{5.5}{x} \right) \). Если \( x > 0 \), то \( y(x) > 0 \) по неравенству о средних арифметическом и геометрическом: \( \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} \). В нашем случае \( a = \frac{x}{5.5} \) и \( b = \frac{5.5}{x} \), тогда \( ab = 1 \), и \( \frac{y(x)}{1} = \frac{1}{2} \left( \frac{x}{5.5} + \frac{5.5}{x} \right) \ge \frac{1}{2} \sqrt{\frac{x}{5.5} \cdot \frac{5.5}{x}} = \frac{1}{2} \sqrt{1} = \frac{1}{2} \).

Равенство достигается, когда \( \frac{x}{5.5} = \frac{5.5}{x} \), то есть \( x^2 = 5.5^2 \), что даёт \( x = 5.5 \) (так как мы рассматриваем \( x > 0 \)).

Следовательно, минимальное значение функции для \( x > 0 \) равно \( y = 0.5 \) при \( x = 5.5 \).

Если \( x < 0 \), то пусть \( x = -t \), где \( t > 0 \). Тогда \( y = \frac{1}{2} \left( \frac{-t}{5.5} + \frac{5.5}{-t} \right) = -\frac{1}{2} \left( \frac{t}{5.5} + \frac{5.5}{t} \right) \).

По аналогии с \( x > 0 \), минимальное значение \( \frac{t}{5.5} + \frac{5.5}{t} \) равно 2 при \( t = 5.5 \). Следовательно, максимальное значение \( y \) для \( x < 0 \) равно \( -0.5 \) при \( x = -5.5 \).

График функции имеет две ветви, симметричные относительно начала координат. Для \( x > 0 \) функция убывает от \( \infty \) до \( 0.5 \) (при \( x=5.5 \)), а затем возрастает до \( \infty \). Для \( x < 0 \) функция возрастает от \( -\infty \) до \( -0.5 \) (при \( x=-5.5 \)), а затем убывает до \( -\infty \).

Прямая \( y=m \) будет иметь ровно одну общую точку с графиком функции в следующих случаях:

• Когда \( y=m \) является минимальным значением функции для \( x > 0 \), то есть \( m = 0.5 \).
• Когда \( y=m \) является максимальным значением функции для \( x < 0 \), то есть \( m = -0.5 \).

Ответ: 0.5; -0.5