17. Высота ВН ромба ABCD делит его сторону AD на отрезки АН = 2 и HD = 8 (см. рис. 131). Найдите площадь ромба..

Решение:

Сторона ромба AD равна сумме отрезков AH и HD:

\[ AD = AH + HD = 2 + 8 = 10 \text{ см} \]

В ромбе все стороны равны, поэтому сторона ромба \( a = 10 \) см.

Высота BH является катетом прямоугольного треугольника ABH (так как угол BAD ромба может быть острым или тупым, но BH перпендикулярно AD).

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABH:

\[ AB^2 = AH^2 + BH^2 \]

Подставим известные значения:

\[ 10^2 = 2^2 + BH^2 \]

\[ 100 = 4 + BH^2 \]

\[ BH^2 = 100 - 4 \]

\[ BH^2 = 96 \]

\[ BH = \sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6} \text{ см} \]

Площадь ромба вычисляется по формуле \( S = a \cdot h \), где \( a \) — сторона ромба, \( h \) — высота.

\[ S = AD \cdot BH = 10 \cdot 4\sqrt{6} = 40\sqrt{6} \text{ см}^2 \]

Ответ: $$40\sqrt{6}$$ см²