1717. а) √(3x − 1) + √(6x + 2) = √(9x + 1);

Решение.

1. Из условия подкоренных выражений: \(3x-1\ge 0\), то есть \(x\ge \frac13\). Положим \(y=\sqrt{3x-1}\), тогда \(y\ge0\) и \(x=\frac{y^2+1}{3}\).
2. Подставим: \(\sqrt{6x+2}=\sqrt{2y^2+4}\), а \(\sqrt{9x+1}=\sqrt{3y^2+4}\). Получаем \(y+\sqrt{2y^2+4}=\sqrt{3y^2+4}\).
3. Возведём в квадрат: \(2y\sqrt{2y^2+4}=y^2+4\). При \(y>0\) ещё раз возводим в квадрат: \(4y^2(2y^2+4)=(y^2+4)^2\), откуда \(7y^4+8y^2-16=0\). Положив \(z=y^2\ge0\), получаем \(7z^2+8z-16=0\), то есть \(z=\frac87\) (второй корень отрицательный).
4. Проверка в уравнении после первого возведения в квадрат: при \(y^2=\frac87\) обе части равенства \(2y\sqrt{2y^2+4}=y^2+4\) не равны, поэтому этот кандидат посторонний. Остаётся проверить случай \(y=0\): исходное равенство выполняется.

Из \(y=0\) следует \(3x-1=0\), поэтому \(x=\frac13\).

Ответ: \(x=\frac13\).