1719. б) √(x² + x + 7) + √(x² + x + 2) = √(3x² + 3x + 19).

Решение.

1. Обозначим \(t=x^2+x\). Поскольку \(x^2+x=(x+\frac12)^2-\frac14\), имеем \(t\ge-\frac14\). Уравнение принимает вид \(\sqrt{t+7}+\sqrt{t+2}=\sqrt{3t+19}\).
2. Возведём в квадрат: \(2t+9+2\sqrt{(t+7)(t+2)}=3t+19\). Значит, \(2\sqrt{(t+7)(t+2)}=t+10\); правая часть положительна при допустимых \(t\).
3. Ещё раз возведём в квадрат: \(4(t+7)(t+2)=(t+10)^2\). После упрощения получаем \(3t^2+16t-44=0\), откуда \(t=2\) или \(t=-\frac{22}{3}\). С учётом \(t\ge-\frac14\) подходит только \(t=2\).
4. Тогда \(x^2+x=2\), то есть \((x-1)(x+2)=0\). При обоих значениях исходное уравнение выполняется.

Ответ: \(x=-2;\ 1\).