172. Площадь прямоугольного треугольника равна \(\frac{25\sqrt{3}}{2}\). Один из острых углов равен \(30^\circ\). Найдите длину гипотенузы.

Пусть гипотенуза равна \(c\). Катеты прямоугольного треугольника с углом \(30^\circ\) составляют \(\frac c2\) и \(\frac{c\sqrt3}{2}\).

Подставим в формулу площади: \(\frac{25\sqrt3}{2}=\frac12\cdot\frac c2\cdot\frac{c\sqrt3}{2}=\frac{c^2\sqrt3}{8}\).

Отсюда \(c^2=100\), поэтому \(c=10\).

Ответ: 10.