1749. В треугольнике ABC угол C равен 90°, угол А равен 30°, АВ = 88√3. Найдите высоту СН.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, где \( \angle C = 90^{\circ} \) и \( \angle A = 30^{\circ} \), сторона AB является гипотенузой.

Высота CH, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит треугольник на два подобных треугольника, каждый из которых подобен исходному треугольнику ABC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. В нём \( \angle A = 30^{\circ} \) и \( \angle AHC = 90^{\circ} \). Следовательно, \( \angle ACH = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике ABC, противолежащий катет BC равен половине гипотенузы AB, а прилежащий катет AC равен \( AB \cos(30^{\circ}) \).

Однако, для нахождения высоты CH, нам нужно использовать свойства подобных треугольников или тригонометрию.

В прямоугольном треугольнике ABC:

\( CH = AC \sin(A) \)

Чтобы найти AC, используем \( AC = AB \cos(A) \).

\( AC = 88\sqrt{3} \cdot \cos(30^{\circ}) = 88\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 88 \cdot \frac{3}{2} = 44 \cdot 3 = 132 \).

Теперь найдём CH:

\( CH = AC \sin(A) = 132 \cdot \sin(30^{\circ}) = 132 \cdot \frac{1}{2} = 66 \).

Другой способ:

В прямоугольном треугольнике ABC, \( CH \) является катетом в треугольнике ACH. \( CH = AH \tan(A) \). Также \( CH \) является высотой, и в прямоугольном треугольнике ABC, \( CH = \frac{AC · BC}{AB} \).

Мы знаем, что \( BC = AB \sin(30^{\circ}) = 88\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 44\sqrt{3} \).

\( CH = \frac{132 \cdot 44\sqrt{3}}{88\sqrt{3}} = \frac{132 \cdot 44}{88} = 132 \cdot \frac{1}{2} = 66 \).

Ответ: CH = 66.