1756. В треугольнике АВС АВ = BC = AC = 54√3. Найдите высоту СН.

Решение:

Треугольник ABC является равносторонним, так как \( AB = BC = AC = 54\sqrt{3} \).

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°.

Высота CH в равностороннем треугольнике делит основание AB пополам (так как CH — медиана).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. \( \angle A = 60^{\circ} \), \( \angle AHC = 90^{\circ} \). Гипотенуза AC = \( 54\sqrt{3} \).

Катет CH — противолежащий к углу A.

Используем тригонометрическое соотношение:

\( CH = AC \sin(A) \)

\( CH = 54\sqrt{3} \cdot \sin(60^{\circ}) \)

\( CH = 54\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( CH = 54 \cdot \frac{3}{2} \)

\( CH = 27 \cdot 3 \)

\( CH = 81 \).

Ответ: CH = 81.