1753. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, угол А равен 30°, АВ = 80. Найдите ВН.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, \( \angle C = 90^{\circ} \) и \( \angle A = 30^{\circ} \). AB — гипотенуза. CH — высота, проведенная к гипотенузе.

Нам нужно найти длину отрезка BH. BH является частью гипотенузы AB.

Сначала найдем длину катетов AC и BC в треугольнике ABC:

\( AC = AB \cos(A) = 80 \cdot \cos(30^{\circ}) = 80 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 40\sqrt{3} \).

\( BC = AB \sin(A) = 80 \cdot \sin(30^{\circ}) = 80 \cdot \frac{1}{2} = 40 \).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CBH. В нем \( \angle CHB = 90^{\circ} \). Угол \( \angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

В треугольнике CBH, BC — гипотенуза.

Нам нужно найти катет BH, который прилежит к углу B.

\( BH = BC \cos(B) \)

\( BH = 40 \cdot \cos(60^{\circ}) \)

\( BH = 40 \cdot \frac{1}{2} \)

\( BH = 20 \).

Альтернативный способ:

Мы можем найти AH:

\( AH = AC \cos(A) = 40\sqrt{3} \cdot \cos(30^{\circ}) = 40\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 40 \cdot \frac{3}{2} = 60 \).

Тогда \( BH = AB - AH = 80 - 60 = 20 \).

Ответ: BH = 20.