1750. В треугольнике ABC угол C равен 90°, угол А равен 30°, АВ = 52√3. Найдите высоту СН.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, \( \angle C = 90^{\circ} \) и \( \angle A = 30^{\circ} \). AB — гипотенуза.

Высота CH делит треугольник ABC на два подобных прямоугольных треугольника: ACH и CBH.

В прямоугольном треугольнике ABC:

\( BC = AB \sin(A) = 52\sqrt{3} \cdot \sin(30^{\circ}) = 52\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 26\sqrt{3} \).

\( AC = AB \cos(A) = 52\sqrt{3} \cdot \cos(30^{\circ}) = 52\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 52 \cdot \frac{3}{2} = 26 \cdot 3 = 78 \).

Высота CH может быть найдена по формуле:

\( CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} \)

\( CH = \frac{78 \cdot 26\sqrt{3}}{52\sqrt{3}} = \frac{78 \cdot 26}{52} = 78 \cdot \frac{1}{2} = 39 \).

Альтернативный способ:

В прямоугольном треугольнике ACH, \( \angle A = 30^{\circ} \) и \( \angle AHC = 90^{\circ} \), значит \( \angle ACH = 60^{\circ} \).

\( CH = AC \tan(A) \) — это неправильно, так как AC — гипотенуза в треугольнике ACH.

В треугольнике ACH, \( CH \) — противолежащий катет к углу A.

\( CH = AC \sin(A) \)

\( CH = 78 \cdot \sin(30^{\circ}) = 78 \cdot \frac{1}{2} = 39 \).

Ответ: CH = 39.