177. Расположить числа в порядке возрастания: 1) \(0,3^\pi\), \(0,3^{0,5}\), \(0,3^{\sqrt3}\), \(0,3^{3,1415}\); 2) \((\sqrt2)^\pi\), \(1,9^\pi\), \((1/\sqrt2)^\pi\), \(\pi^\pi\); 3) \(5^{-2}\), \(5^{-0,7}\), \(5^{1/3}\), \((1/5)^{2,1}\); 4) \(0,5^{-2/3}\), \(1,3^{-2/3}\), \(\pi^{-2/3}\), \((\sqrt2)^{-2/3}\).

1) Основание \(0,3\) меньше 1, поэтому функция убывает по показателю. Так как \(0,5<\sqrt3<3,1415<\pi\), порядок значений обратен порядку показателей: \(0,3^\pi<0,3^{3,1415}<0,3^{\sqrt3}<0,3^{0,5}\).

2) Показатель \(\pi\) общий и положительный, а функция \(a\mapsto a^\pi\) возрастает при положительных \(a\). Поскольку \(1/\sqrt2<\sqrt2<1,9<\pi\), получаем \((1/\sqrt2)^\pi<(\sqrt2)^\pi<1,9^\pi<\pi^\pi\).

3) Представим \((1/5)^{2,1}=5^{-2,1}\). Основание 5 больше 1, поэтому сравниваем показатели: \(-2,1<-2<-0,7<1/3\). Следовательно, \((1/5)^{2,1}<5^{-2}<5^{-0,7}<5^{1/3}\).

4) Показатель \(-2/3\) отрицателен, поэтому при увеличении положительного основания значение степени уменьшается. Основания расположены так: \(0,5<\sqrt2<1,3<\pi\). Значит, \(\pi^{-2/3}<1,3^{-2/3}< (\sqrt2)^{-2/3}<0,5^{-2/3}\).