180. Найти функцию, обратную данной, её область определения и множество значений: 1) $y=0,5x+3$; 2) $y=\frac{2}{x^3-3}$; 3) $y=(x+2)^3$; 4) $y=x^3-1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 180. Найти функцию, обратную данной, её область определения и множество значений: 1) $y=0,5x+3$; 2)…$ Фото задания

180. Найти функцию, обратную данной, её область определения и множество значений: 1) $y=0,5x+3$; 2) $y=\frac{2}{x^3-3}$; 3) $y=(x+2)^3$; 4) $y=x^3-1$.

Accepted Answer

Для нахождения обратной функции меняем местами $x$ и $y$, затем выражаем $y$. Область определения обратной функции совпадает с множеством значений исходной, а её множество значений — с областью определения исходной.

Исходная функция линейная с ненулевым коэффициентом: $D_f=\mathbb{R}$, $E_f=\mathbb{R}$. Из $y=0,5x+3$ получаем $x=0,5y+3$, откуда $y=2x-6$. Значит, $f^{-1}(x)=2x-6$, $D_{f^{-1}}=\mathbb{R}$, $E_{f^{-1}}=\mathbb{R}$.
В исходной функции исключаем $x^3-3=0$, то есть $x=\sqrt[3]{3}$. Нуль функция не принимает, поэтому $D_f=\mathbb{R}\setminus\{\sqrt[3]{3}\}$, $E_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Меняем переменные: $x=2/(y^3-3)$. Тогда $x(y^3-3)=2$, $y^3=3+2/x$, откуда $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{3+2/x}$. Поэтому $D_{f^{-1}}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$, $E_{f^{-1}}=\mathbb{R}\setminus\{\sqrt[3]{3}\}$.
Для кубической функции $D_f=E_f=\mathbb{R}$. Из $y=(x+2)^3$ получаем $x=(y+2)^3$, значит $y=\sqrt[3]{x}-2$. Следовательно, $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}-2$, а её область определения и множество значений равны $\mathbb{R}$.
Для $y=x^3-1$ имеем $D_f=E_f=\mathbb{R}$. Перестановка переменных даёт $x=y^3-1$, поэтому $y=\sqrt[3]{x+1}$. Значит, $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x+1}$, $D_{f^{-1}}=E_{f^{-1}}=\mathbb{R}$.

180. Найти функцию, обратную данной, её область определения и множество значений: 1) \(y=0,5x+3\); 2) \(y=\frac{2}{x^3-3}\); 3) \(y=(x+2)^3\); 4) \(y=x^3-1\).

Ответ: