178. a) \(\frac{9x^2 - 6x + 1}{9x^2 - 1}\) ; б) \(\frac{4m^2 - 9n^2}{9n^2 - 12mn + 4m^2}\)

Решение:

а) \(\frac{9x^2 - 6x + 1}{9x^2 - 1}\)

Числитель — это квадрат разности: \( 9x^2 - 6x + 1 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 = (3x - 1)^2 \).

Знаменатель — это разность квадратов: \( 9x^2 - 1 = (3x)^2 - 1^2 = (3x - 1)(3x + 1) \).

\(\frac{9x^2 - 6x + 1}{9x^2 - 1} = \frac{(3x - 1)^2}{(3x - 1)(3x + 1)} = \frac{3x - 1}{3x + 1}\)

б) \(\frac{4m^2 - 9n^2}{9n^2 - 12mn + 4m^2}\)

Числитель — это разность квадратов: \( 4m^2 - 9n^2 = (2m)^2 - (3n)^2 = (2m - 3n)(2m + 3n) \).

Знаменатель — это квадрат разности: \( 9n^2 - 12mn + 4m^2 = (3n)^2 - 2 \cdot 3n \cdot 2m + (2m)^2 = (3n - 2m)^2 = (-(2m - 3n))^2 = (2m - 3n)^2 \).

\(\frac{4m^2 - 9n^2}{9n^2 - 12mn + 4m^2} = \frac{(2m - 3n)(2m + 3n)}{(2m - 3n)^2} = \frac{2m + 3n}{2m - 3n}\)

Ответ: а) \(\frac{3x - 1}{3x + 1}\); б) \(\frac{2m + 3n}{2m - 3n}\).