17 В погребе хранилось несколько головок сыра. Ночью пришли мышки и съели 9 головок сыра, причём все съели поровну. Следующей ночью пришли не все мышки, а только 11, и доели оставшийся сыр, но каждая мышка съела в три раза меньше сыра, чем накануне. Сколько головок сыра хранилось в погребе?

Расчет первоначального количества сыра:

1. Шаг 1: Обозначим количество мышек, которые пришли в первую ночь, как 'n'. Обозначим количество сыра, которое съела каждая мышка в первую ночь, как 'y'.
   Тогда \( n \cdot y = 9 \) (всего съедено 9 головок сыра).
2. Шаг 2: Во вторую ночь пришли 11 мышек. Каждая мышка съела в три раза меньше сыра, чем накануне, то есть \( y/3 \) сыра.
   Общее количество сыра, съеденного во вторую ночь: \( 11 \cdot (y/3) \).
3. Шаг 3: Количество сыра, съеденного во вторую ночь, равно остатку сыра после первой ночи.
   Остаток сыра = \( 9 - n y \). В первой ночи съели 9 головок, значит остатка сыра не было. Это значит, что общее количество сыра было равно 9.
4. Шаг 4: Давайте перечитаем условие. «...и доели оставшийся сыр». Это означает, что не весь сыр был съеден в первую ночь.
   Обозначим первоначальное количество сыра как 'X'.
   В первую ночь съели 9 головок. Осталось \( X - 9 \) головок.
   Во вторую ночь пришли 11 мышек. Каждая съела \( y/3 \) сыра.
   Общее количество съеденного во вторую ночь: \( 11 · \frac{y}{3} = X - 9 \).
   Мы знаем, что \( ny = 9 \).
   Отсюда \( y = 9/n \).
   Подставляем \( y \) во второе уравнение:
   \( 11 \cdot \frac{9/n}{3} = X - 9 \)
   \( 11 \cdot \frac{9}{3n} = X - 9 \)
   \( 11 \cdot \frac{3}{n} = X - 9 \)
   \( \frac{33}{n} = X - 9 \)
5. Шаг 5: У нас есть два неизвестных (n и X) и одно уравнение. Это означает, что задача, скорее всего, имеет подвох или не хватает данных. Однако, давайте предположим, что в первой ночи мышки съели ВЕСЬ сыр, который был. Тогда X=9. Но тогда во второй ночи нечего было доедать.
   Перечитаем: «...и доели оставшийся сыр...». Это значит, что остался сыр.
   Попробуем другой подход. Предположим, что количество мышек в первую ночь ('n') было таким, что оставшийся сыр (X-9) был съеден 11 мышами, каждая из которых съела в 3 раза меньше, чем каждая мышка в первую ночь (y).
   Значит, \( 11 · \frac{y}{3} = X - 9 \).
   И \( n · y = 9 \).
   Из второго уравнения: \( y = 9/n \).
   Подставляем в первое: \( 11 · \frac{9/n}{3} = X - 9 \)
   \( 11 · \frac{3}{n} = X - 9 \)
   \( \frac{33}{n} = X - 9 \).
   Если предположить, что в первой ночи было, например, 3 мышки, и каждая съела по 3 головки сыра (3*3=9). Тогда n=3, y=3.
   Тогда \( \frac{33}{3} = X - 9 \)
   \( 11 = X - 9 \)
   \( X = 11 + 9 = 20 \) головок сыра.
   Проверим: Изначально 20 головок. В первую ночь съели 9 (осталось 11). Во вторую ночь 11 мышек съели по \( 3/3 = 1 \) головке сыра каждая. Всего съели 11*1=11 головок. Это совпадает с остатком.

Ответ: В погребе хранилось 20 головок сыра.