18. При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 87% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 29% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 75% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?

Краткая запись:

• P(Тест+ | Заболевание+) = 0.87
• P(Тест- | Заболевание-) = 0.29
• P(Тест+) = 0.75
• Найти: P(Заболевание+ | Тест+)

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определим дополнительные вероятности, исходя из данных задачи.
   P(Заболевание-) = 1 - P(Заболевание+)
   P(Тест- | Заболевание+) = 1 - P(Тест+ | Заболевание+) = 1 - 0.87 = 0.13
   P(Тест+ | Заболевание-) = 1 - P(Тест- | Заболевание-) = 1 - 0.29 = 0.71
2. Шаг 2: Рассчитаем вероятность наличия заболевания P(Заболевание+).
   P(Тест+) = P(Тест+ | Заболевание+) * P(Заболевание+) + P(Тест+ | Заболевание-) * P(Заболевание-)
   0.75 = 0.87 * P(Заболевание+) + 0.71 * (1 - P(Заболевание+))
   0.75 = 0.87 * P(Заболевание+) + 0.71 - 0.71 * P(Заболевание+)
   0.75 - 0.71 = (0.87 - 0.71) * P(Заболевание+)
   0.04 = 0.16 * P(Заболевание+)
   P(Заболевание+) = \(\frac{0.04}{0.16}\) = 0.25
3. Шаг 3: Применим формулу Байеса для расчета искомой вероятности:
   P(Заболевание+ | Тест+) = \(\frac{P(\text{Тест+ | Заболевание+}) \cdot P(\text{Заболевание+})}{P(\text{Тест+}})\)
   P(Заболевание+ | Тест+) = \(\frac{0.87 \cdot 0.25}{0.75}\) = \(\frac{0.2175}{0.75}\) = 0.29

Ответ: 0.29