18. Решите уравнение: 2sin2x - 2cos2x - sin2x = 0.

Решение:

Упростим уравнение:

\( 2\sin(2x) - 2\cos(2x) - \sin(2x) = 0 \)

\( \sin(2x) - 2\cos(2x) = 0 \)

Перенесем \( 2\cos(2x) \) в правую часть:

\( \sin(2x) = 2\cos(2x) \)

Разделим обе части на \( \cos(2x) \) (предполагая, что \( \cos(2x) \neq 0 \)). Если \( \cos(2x) = 0 \), то \( \sin(2x) = \pm 1 \), что не удовлетворяет уравнению \( \sin(2x) = 2\cos(2x) \).

\( \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = 2 \)

\( \mathrm{tg}(2x) = 2 \)

\( 2x = \mathrm{arctg}(2) + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \)

\( x = \frac{1}{2} \mathrm{arctg}(2) + \frac{\pi k}{2} \), где \( k \in \mathbb{Z} \)

Ответ: \( x = \frac{1}{2} \mathrm{arctg}(2) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} \)