19. Найдите точку максимума для функции f(x)= 2x³-3x² - 36x-12

Решение:

Чтобы найти точку максимума функции, нужно найти первую производную, приравнять её к нулю и определить знаки производной.

1. Найдем первую производную функции \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 36x - 12 \):

\( f'(x) = (2x^3)' - (3x^2)' - (36x)' - (12)' \)

\( f'(x) = 6x^2 - 6x - 36 \)

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( 6x^2 - 6x - 36 = 0 \)

Разделим на 6:

\( x^2 - x - 6 = 0 \)

Решим квадратное уравнение (по теореме Виета или через дискриминант). Сумма корней равна 1, произведение равно -6. Корни: 3 и -2.

\( x_1 = 3 \), \( x_2 = -2 \)

3. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками.

Возьмем тестовую точку в интервале \( (-\infty, -2) \), например, \( x = -3 \):

\( f'(-3) = 6(-3)^2 - 6(-3) - 36 = 6(9) + 18 - 36 = 54 + 18 - 36 = 36 > 0 \). Функция возрастает.

Возьмем тестовую точку в интервале \( (-2, 3) \), например, \( x = 0 \):

\( f'(0) = 6(0)^2 - 6(0) - 36 = -36 < 0 \). Функция убывает.

Возьмем тестовую точку в интервале \( (3, \infty) \), например, \( x = 4 \):

\( f'(4) = 6(4)^2 - 6(4) - 36 = 6(16) - 24 - 36 = 96 - 24 - 36 = 36 > 0 \). Функция возрастает.

4. Анализ знаков производной:

• В точке \( x = -2 \) производная меняет знак с '+' на '-'. Это точка локального максимума.
• В точке \( x = 3 \) производная меняет знак с '-' на '+'. Это точка локального минимума.

Ответ: Точка максимума функции находится при \( x = -2 \).