18. Тип 17 № 602 Задумали двузначное число. Когда это число умножили на произведение его цифр, получили 255. Какое число задумали? Напишите свое решение.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Анализируем число 255. Оно оканчивается на 5, значит, либо одна из цифр числа (\( a \) или \( b \)) равна 5, либо обе цифры произведения \( a imes b \) дают 5 в конце (например, 3*5=15, 5*1=5, 5*7=35).
2. Шаг 2: Рассматриваем варианты, когда одна из цифр равна 5.
   Вариант 1: Первая цифра \( a = 5 \).
   Число = \( 50 + b \). Произведение цифр = \( 5 imes b \).
   Уравнение: \( (50 + b) imes 5b = 255 \).
   \( 250b + 5b^2 = 255 \).
   \( 5b^2 + 250b - 255 = 0 \).
   Делим на 5: \( b^2 + 50b - 51 = 0 \).
   Дискриминант \( D = 50^2 - 4 imes 1 imes (-51) = 2500 + 204 = 2704 \). \( ext{sqrt}(D) = 52 \).
   \( b = (-50 + 52) / 2 = 2 / 2 = 1 \).
   Если \( b = 1 \), то число = \( 51 \). Проверяем: \( 51 imes (5 imes 1) = 51 imes 5 = 255 \). Это подходит.
   Вариант 2: Вторая цифра \( b = 5 \).
   Число = \( 10a + 5 \). Произведение цифр = \( a imes 5 \).
   Уравнение: \( (10a + 5) imes 5a = 255 \).
   \( 50a^2 + 25a = 255 \).
   Делим на 5: \( 10a^2 + 5a - 51 = 0 \).
   Дискриминант \( D = 5^2 - 4 imes 10 imes (-51) = 25 + 2040 = 2065 \). \( ext{sqrt}(2065) \) не является целым числом, значит, \( a \) не будет целой цифрой. Этот вариант не подходит.
3. Шаг 3: Рассматриваем варианты, когда произведение цифр оканчивается на 5, но ни одна из цифр не равна 5.
   Возможные произведения цифр, дающие 5 в конце: \( 3 imes 5 = 15 \) (уже рассмотрено), \( 7 imes 5 = 35 \) (уже рассмотрено), \( 1 imes 5 = 5 \) (уже рассмотрено).
   Других комбинаций для двузначного числа, где произведение цифр заканчивалось бы на 5, нет.
4. Шаг 4: Проверяем найденное число.
   Задумали число 51. Произведение его цифр: \( 5 imes 1 = 5 \).
   Умножаем число на произведение его цифр: \( 51 imes 5 = 255 \). Это соответствует условию.

Ответ: 51