18. В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Пусть основания равнобедренной трапеции равны \( a = 9 \) и \( b = 3 \). Угол при боковой стороне равен \( \alpha = 45^{\circ} \).

Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \), где \( h \) — высота трапеции.

Опустим две высоты из вершин меньшего основания на большее. Эти высоты отсекут от большего основания два равных отрезка. Длина каждого такого отрезка равна \( x = \frac{a-b}{2} \).

\( x = \frac{9-3}{2} = \frac{6}{2} = 3 \).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой \( h \), отрезком \( x \) и боковой стороной трапеции. Угол между боковой стороной и основанием равен \( 45^{\circ} \).

В этом прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета (высоты \( h \)) к прилежащему катету (отрезку \( x \)).

\( \tan(45^{\circ}) = \frac{h}{x} \)

Так как \( \tan(45^{\circ}) = 1 \), то \( 1 = \frac{h}{x} \), откуда \( h = x \).

Следовательно, высота трапеции \( h = 3 \).

Теперь вычислим площадь трапеции:

\( S = \frac{9+3}{2} \cdot 3 = \frac{12}{2} \cdot 3 = 6 \cdot 3 = 18 \)

Ответ: 18