19. MK : KN = 3 : 2. Выразите вектор \(\overrightarrow{AM}\) через векторы \(\vec a=\overrightarrow{AK}\) и \(\vec b=\overrightarrow{AN}\).

Пусть \(\overrightarrow{MK}=\vec x\). Так как точки \(M,K,N\) лежат на одной прямой и \(MK:KN=3:2\), то \(\overrightarrow{KN}=\frac{2}{3}\vec x\), а \(\overrightarrow{MN}=\frac{5}{3}\vec x\).

С другой стороны, \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\vec b-\overrightarrow{AM}\), а \(\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MK}\). Поэтому \(\vec a=\overrightarrow{AM}+\frac{3}{5}(\vec b-\overrightarrow{AM})\).

Отсюда \(\frac{2}{5}\overrightarrow{AM}=\vec a-\frac{3}{5}\vec b\), следовательно, \(\overrightarrow{AM}=\frac{5}{2}\vec a-\frac{3}{2}\vec b\).

Ответ: \(\overrightarrow{AM}=\frac{5}{2}\vec a-\frac{3}{2}\vec b\).