20. EA : AF = 2 : 5. Выразите вектор \(\overrightarrow{KE}\) через векторы \(\vec m=\overrightarrow{KA}\) и \(\vec n=\overrightarrow{KF}\).

Точки \(E,A,F\) лежат на одной прямой, причём \(\overrightarrow{EF}=\frac{7}{2}\overrightarrow{EA}\). Обозначим \(\overrightarrow{KE}=\vec x\). Тогда \(\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{EK}+\overrightarrow{KA}=-\vec x+\vec m\).

По правилу сложения векторов: \(\vec n=\overrightarrow{KF}=\overrightarrow{KE}+\overrightarrow{EF}=\vec x+\frac{7}{2}(-\vec x+\vec m)\).

Следовательно, \(\vec n=-\frac{5}{2}\vec x+\frac{7}{2}\vec m\), откуда \(\vec x=\frac{7}{5}\vec m-\frac{2}{5}\vec n\).

Ответ: \(\overrightarrow{KE}=\frac{7}{5}\vec m-\frac{2}{5}\vec n\).