19. Решите неравенство (х-4)² < √6(x-4).

Решение:

Решим неравенство \( (x-4)^2 < \sqrt{6}(x-4) \).

1. Перенесем все члены в одну сторону: \( (x-4)^2 - \sqrt{6}(x-4) < 0 \).
2. Вынесем общий множитель \( (x-4) \) за скобки: \( (x-4) ( (x-4) - \sqrt{6} ) < 0 \).
3. \( (x-4) (x - 4 - \sqrt{6}) < 0 \).
4. Найдем корни уравнения \( (x-4)(x - 4 - \sqrt{6}) = 0 \). Корни: \( x = 4 \) и \( x = 4 + \sqrt{6} \).
5. Так как \( \sqrt{6} \) приблизительно равно 2.45, то \( 4 + \sqrt{6} \) приблизительно равно 6.45.
6. На числовой прямой отметим корни 4 и \( 4 + \sqrt{6} \). Они разбивают числовую прямую на три интервала.
7. Проверим знак выражения \( (x-4)(x - 4 - \sqrt{6}) \) в каждом интервале:
• При \( x < 4 \) (например, \( x = 0 \)): \( (0-4)(0 - 4 - \sqrt{6}) = (-4)(-4 - \sqrt{6}) > 0 \).
• При \( 4 < x < 4 + \sqrt{6} \) (например, \( x = 5 \)): \( (5-4)(5 - 4 - \sqrt{6}) = (1)(1 - \sqrt{6}) < 0 \).
• При \( x > 4 + \sqrt{6} \) (например, \( x = 7 \)): \( (7-4)(7 - 4 - \sqrt{6}) = (3)(3 - \sqrt{6}) > 0 \).
8. Так как неравенство строгое \( < 0 \), то решением является интервал \( (4; 4 + \sqrt{6}) \).

Ответ: (4; 4 + √6).