20. Решите систему уравнений $$\begin{cases} (2x+3)^2 = 5y, \\ (3x+2)^2 = 5y. \end{cases}$$

Решение:

Решим систему уравнений:

1. Так как правые части обоих уравнений равны \( 5y \), приравняем левые части: \( (2x+3)^2 = (3x+2)^2 \).
2. Раскроем скобки: \( 4x^2 + 12x + 9 = 9x^2 + 12x + 4 \).
3. Перенесем все члены в одну сторону: \( 9x^2 - 4x^2 + 12x - 12x + 4 - 9 = 0 \).
4. \( 5x^2 - 5 = 0 \).
5. \( 5(x^2 - 1) = 0 \).
6. \( x^2 - 1 = 0 \).
7. \( x^2 = 1 \).
8. \( x = \pm 1 \).
9. Найдем значения \( y \) для каждого значения \( x \), подставив их в любое из исходных уравнений. Возьмем первое уравнение: \( (2x+3)^2 = 5y \).
• Если \( x = 1 \): \( (2(1)+3)^2 = 5y \) \(\Rightarrow\) \( (2+3)^2 = 5y \) \(\Rightarrow\) \( 5^2 = 5y \) \(\Rightarrow\) \( 25 = 5y \) \(\Rightarrow\) \( y = 5 \).
• Если \( x = -1 \): \( (2(-1)+3)^2 = 5y \) \(\Rightarrow\) \( (-2+3)^2 = 5y \) \(\Rightarrow\) \( 1^2 = 5y \) \(\Rightarrow\) \( 1 = 5y \) \(\Rightarrow\) \( y = \frac{1}{5} \).

Ответ: (1; 5), (-1; 1/5).