19. Тип 17 № 11044 i Задумали четырехзначное число, все цифры которого различны, вторая и третья цифры которого равны 3 и 8. Из него вычли четырехзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 2547. Найдите сумму трех наименьших чисел, удовлетворяющих таким условиям.

Решение:

1. Обозначим задуманное число:
   Пусть задуманное четырехзначное число имеет вид AB CD, где A, B, C, D — различные цифры.
   По условию, вторая цифра (B) равна 3, а третья цифра (C) равна 8. Число имеет вид A38D.
   Все цифры различны, значит A ≠ 3, A ≠ 8, D ≠ 3, D ≠ 8, A ≠ D.
2. Число, записанное в обратном порядке:
   Это число имеет вид DC3A.
   Убедимся, что оно тоже четырехзначное, то есть D ≠ 0.
3. Вычитание:
   Разность между этими числами равна 2547.
   \[ (1000A + 100 imes 3 + 10 imes 8 + D) - (1000D + 100 imes 8 + 10 imes 3 + A) = 2547 \]
   \[ (1000A + 300 + 80 + D) - (1000D + 800 + 30 + A) = 2547 \]
   \[ 1000A + 380 + D - 1000D - 830 - A = 2547 \]
   \[ 999A - 999D - 450 = 2547 \]
   \[ 999(A - D) = 2547 + 450 \]
   \[ 999(A - D) = 2997 \]
   \[ A - D = 2997 / 999 \]
   \[ A - D = 3 \]
4. Находим возможные пары (A, D):
   Учитывая, что A и D — различные цифры, A ≠ 3, A ≠ 8, D ≠ 3, D ≠ 8, D ≠ 0, и A - D = 3:
   
   • Если D = 1, то A = 1 + 3 = 4. (A=4, D=1). Цифры 4, 3, 8, 1 — различны. Подходит. Число: 4381. Обратное: 1834. Разность: 4381 - 1834 = 2547.
   • Если D = 2, то A = 2 + 3 = 5. (A=5, D=2). Цифры 5, 3, 8, 2 — различны. Подходит. Число: 5382. Обратное: 2835. Разность: 5382 - 2835 = 2547.
   • Если D = 4, то A = 4 + 3 = 7. (A=7, D=4). Цифры 7, 3, 8, 4 — различны. Подходит. Число: 7384. Обратное: 4837. Разность: 7384 - 4837 = 2547.
   • Если D = 5, то A = 5 + 3 = 8. Но A ≠ 8. Не подходит.
   • Если D = 6, то A = 6 + 3 = 9. (A=9, D=6). Цифры 9, 3, 8, 6 — различны. Подходит. Число: 9386. Обратное: 6839. Разность: 9386 - 6839 = 2547.
   • Если D = 0, то A = 3. Но A ≠ 3. Не подходит.
5. Наименьшие числа:
   Наименьшие числа, удовлетворяющие условиям, это: 4381, 5382, 7384.
6. Сумма трех наименьших чисел:
   4381 + 5382 + 7384 = 17147

Ответ: 17147