19. Тип 17 № 12186 Задумали трёхзначное число, которое делится на 11 и последняя цифра которого в 4 раза меньше первой. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Полученная разность оказалась меньше 400. Какое число было задумано?

Пошаговое решение:

Пусть задуманное трёхзначное число имеет вид \( ar{abc} \), где a, b, c - его цифры.

Из условия задачи:

1. Число трёхзначное, значит \( a eq 0 \).
2. Последняя цифра в 4 раза меньше первой: \( c = a / 4 \). Так как \( c \) - цифра, то \( a \) может быть 4 или 8.
3. Число делится на 11. Признак делимости на 11: знакопеременная сумма цифр должна делиться на 11. \( a - b + c \) должно делиться на 11.
4. Вычли число, записанное теми же цифрами в обратном порядке: \( ar{abc} - ar{cba} \). Разность < 400.

Рассмотрим случаи для \( a \):

Случай 1: a = 4

• Тогда \( c = 4 / 4 = 1 \).
• Число имеет вид \( ar{4b1} \).
• Проверим делимость на 11: \( 4 - b + 1 \) должно делиться на 11. \( 5 - b \) должно делиться на 11. Так как \( b \) - цифра (от 0 до 9), то \( 5 - b \) может быть только 0, если \( b=5 \).
• Задуманное число: 451.
• Число, записанное в обратном порядке: 154.
• Разность: \( 451 - 154 = 297 \).
• 297 < 400. Это условие выполняется.

Случай 2: a = 8

• Тогда \( c = 8 / 4 = 2 \).
• Число имеет вид \( ar{8b2} \).
• Проверим делимость на 11: \( 8 - b + 2 \) должно делиться на 11. \( 10 - b \) должно делиться на 11. Так как \( b \) - цифра, то \( 10 - b \) может быть равно 0, если \( b = 10 \), что невозможно, или 11, если \( b = -1 \), что также невозможно.
• Значит, этот случай не подходит.

Таким образом, единственное число, удовлетворяющее всем условиям, это 451.

Ответ: 451