19. В треугольнике ABC угол A равен 40°, угол C равен 60°, BD — биссектриса, E — такая точка на AB, что BE = BC. Найдите угол ADE. Ответ дайте в градусах.

Угол \(B=180°-40°-60°=80°\). Так как \(BD\) — биссектриса, \(\angle ABD=\angle DBC=40°\).

В треугольниках \(BDE\) и \(BDC\): \(BE=BC\) по условию, \(BD\) — общая сторона, а углы между этими сторонами равны \(40°\). Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому \(\angle BDE=\angle BDC\).

В треугольнике \(BDC\) угол при \(C\) равен \(60°\), значит \(\angle BDC=180°-40°-60°=80°\). Также из равенства треугольников \(\angle BED=\angle BCD=60°\). Лучи \(EA\) и \(EB\) противоположны, поэтому \(\angle AED=180°-60°=120°\).

В треугольнике \(ADE\): \(\angle DAE=40°\), следовательно, \(\angle ADE=180°-40°-120°=20°\).

Ответ: 20°.