19. Задумали чётное трёхзначное число, которое больше 700, делится на 23 и последняя цифра которого не равна 0. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 396. Какое число было задумано?

Краткое пояснение:

Для решения задачи составим систему уравнений, основываясь на условиях задачи: число чётное, больше 700, делится на 23, последняя цифра не 0. А также разность между числом и числом с обратным порядком цифр равна 396.

Решение:

1. Шаг 1: Обозначим задуманное число как abc, где a, b, c — цифры. Число с обратным порядком цифр — cba.
2. Шаг 2: Запишем число в математическом виде:
   abc = 100a + 10b + c
cba = 100c + 10b + a
3. Шаг 3: Запишем разность:
   (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 396
100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 396
99a - 99c = 396
99(a - c) = 396
a - c = 396 / 99
a - c = 4
4. Шаг 4: Анализируем условия:
   
   • Число трёхзначное, значит a ≠ 0.
   • Число чётное, значит c — чётная цифра (0, 2, 4, 6, 8).
   • Последняя цифра не равна 0, значит c ≠ 0. Следовательно, c может быть 2, 4, 6, 8.
   • Число больше 700, значит a может быть 7, 8, 9.
   • a - c = 4.
5. Шаг 5: Подбираем возможные значения для a и c, удовлетворяющие условию a - c = 4:
   
   • Если a = 7, то c = 7 - 4 = 3 (нечётная, не подходит).
   • Если a = 8, то c = 8 - 4 = 4 (чётная, не 0, подходит).
   • Если a = 9, то c = 9 - 4 = 5 (нечётная, не подходит).
6. Шаг 6: Единственный вариант: a = 8, c = 4. Наше число имеет вид 8b4.
7. Шаг 7: Проверяем условие делимости на 23. Число 8b4 должно делиться на 23.
   Подставим возможные значения для b (от 0 до 9):
   
   • 804 / 23 ≈ 34.95 (не делится)
   • 814 / 23 = 35.4 (не делится)
   • 824 / 23 = 35.8 (не делится)
   • 834 / 23 = 36.26 (не делится)
   • 844 / 23 = 36.7 (не делится)
   • 854 / 23 = 37.13 (не делится)
   • 864 / 23 = 37.56 (не делится)
   • 874 / 23 = 38 (делится!)
   • 884 / 23 = 38.43 (не делится)
   • 894 / 23 = 38.86 (не делится)
8. Шаг 8: Найденное число — 874.
   Проверяем все условия:
   
   • Трёхзначное: Да.
   • Чётное: Да (оканчивается на 4).
   • Больше 700: Да (874 > 700).
   • Делится на 23: Да (874 / 23 = 38).
   • Последняя цифра не 0: Да (4 ≠ 0).
   • Разность с числом с обратным порядком цифр: 874 - 478 = 396. Да.

Ответ: 874