19. Задумали двузначное число. Когда это число умножили на произведение его цифр, получили 744. Какое число задумали. Напишите свое решение.

Решение:

Пусть задуманное двузначное число — \(10a + b\), где \(a\) — цифра десятков, \(b\) — цифра единиц. Произведение цифр равно \(a × b\).

По условию задачи: \( (10a + b) × (a × b) = 744 \).

Так как \(a\) и \(b\) — цифры, то \(a × b\) может быть делителем числа 744.

Разложим 744 на множители:

• \( 744 = 2 × 372 = 2 × 2 × 186 = 2 × 2 × 2 × 93 = 2^3 × 3 × 31 \).

Возможные значения произведения цифр \(a × b\) — это делители числа 744, которые являются произведением двух однозначных чисел (не равных нулю, так как если одна из цифр 0, то произведение будет 0, а 744 не равно 0).

Переберём возможные значения \(a × b\) и соответствующие им значения \(10a + b\):

• Если \( a × b = 1 \), то \(a=1, b=1\). Число = 11. \(11 × 1 = 11 ≠ 744\).
• Если \( a × b = 2 \), то \(a=1, b=2\) или \(a=2, b=1\). Число = 12 или 21. \(12 × 2 = 24 \ne 744\). \(21 × 2 = 42 \ne 744\).
• Если \( a × b = 3 \), то \(a=1, b=3\) или \(a=3, b=1\). Число = 13 или 31. \(13 × 3 = 39 \ne 744\). \(31 × 3 = 93 \ne 744\).
• Если \( a × b = 4 \), то \(a=1, b=4\) или \(a=4, b=1\) или \(a=2, b=2\). Число = 14, 41, 22. \(14 × 4 = 56 \ne 744\). \(41 × 4 = 164 \ne 744\). \(22 × 4 = 88 \ne 744\).
• Если \( a × b = 6 \), то \(a=1, b=6\), \(a=6, b=1\), \(a=2, b=3\), \(a=3, b=2\). Число = 16, 61, 23, 32. \(16 × 6 = 96 \ne 744\). \(61 × 6 = 366 \ne 744\). \(23 × 6 = 138 \ne 744\). \(32 × 6 = 192 \ne 744\).
• Если \( a × b = 8 \), то \(a=1, b=8\), \(a=8, b=1\), \(a=2, b=4\), \(a=4, b=2\). Число = 18, 81, 24, 42. \(18 × 8 = 144 \ne 744\). \(81 × 8 = 648 \ne 744\). \(24 × 8 = 192 \ne 744\). \(42 × 8 = 336 \ne 744\).
• Если \( a × b = 12 \), то \(a=2, b=6\), \(a=6, b=2\), \(a=3, b=4\), \(a=4, b=3\). Число = 26, 62, 34, 43. \(26 × 12 = 312 \ne 744\). \(62 × 12 = 744\). Найдено!

Проверим: Задумали число 62. Произведение его цифр \(6 × 2 = 12\). \(62 × 12 = 744\). Это условие выполняется.

Проверим другие варианты:

• \(34 × 12 = 408 \ne 744\).
• \(43 × 12 = 516 \ne 744\).

Продолжим, чтобы убедиться, что нет других решений:

• Если \( a × b = 18 \), то \(a=2, b=9\), \(a=9, b=2\), \(a=3, b=6\), \(a=6, b=3\). Число = 29, 92, 36, 63. \(29 × 18 = 522 \ne 744\). \(92 × 18 = 1656 \ne 744\). \(36 × 18 = 648 \ne 744\). \(63 × 18 = 1134 \ne 744\).
• Если \( a × b = 21 \), то \(a=3, b=7\), \(a=7, b=3\). Число = 37, 73. \(37 × 21 = 777 \ne 744\). \(73 × 21 = 1533 \ne 744\).
• Если \( a × b = 24 \), то \(a=3, b=8\), \(a=8, b=3\), \(a=4, b=6\), \(a=6, b=4\). Число = 38, 83, 46, 64. \(38 × 24 = 912 \ne 744\). \(83 × 24 = 1992 \ne 744\). \(46 × 24 = 1104 \ne 744\). \(64 × 24 = 1536 \ne 744\).
• Если \( a × b = 27 \), то \(a=3, b=9\), \(a=9, b=3\). Число = 39, 93. \(39 × 27 = 1053 \ne 744\). \(93 × 27 = 2511 \ne 744\).
• Если \( a × b = 28 \), то \(a=4, b=7\), \(a=7, b=4\). Число = 47, 74. \(47 × 28 = 1316 \ne 744\). \(74 × 28 = 2072 \ne 744\).
• Если \( a × b = 32 \), то \(a=4, b=8\), \(a=8, b=4\). Число = 48, 84. \(48 × 32 = 1536 \ne 744\). \(84 × 32 = 2688 \ne 744\).
• Если \( a × b = 35 \), то \(a=5, b=7\), \(a=7, b=5\). Число = 57, 75. \(57 × 35 = 1995 \ne 744\). \(75 × 35 = 2625 \ne 744\).
• Если \( a × b = 36 \), то \(a=4, b=9\), \(a=9, b=4\), \(a=6, b=6\). Число = 49, 94, 66. \(49 × 36 = 1764 \ne 744\). \(94 × 36 = 3384 \ne 744\). \(66 × 36 = 2376 \ne 744\).

Проверили все возможные варианты произведений цифр, которые могли бы дать в результате 744. Единственное двузначное число, удовлетворяющее условию, — это 62.

Ответ: 62