191. (Для работы в парах.) Используя графические представления, выясните, сколько решений имеет уравнение: а) \(\frac{k}{x}=x^2\), где \(k>0\); б) \(\frac{k}{x}=x^2\), где \(k<0\); в) \(\frac{k}{x}=x^3\), где \(k>0\); г) \(\frac{k}{x}=x^3\), где \(k<0\). 1) Распределите, кто выполняет задания а) и г), а кто — задания б) и в), и выполните их. 2) Проверьте друг у друга, верно ли построены графики функций \(y=\frac{k}{x}\). 3) Обсудите правильность сделанных выводов о числе решений уравнения.

Число решений определяется абсциссами пересечений графиков. Область определения функции \(y=k/x\): \(x\ne0\).

1. а) \(k/x=x^2\) равносильно \(x^3=k\). При \(k>0\) существует ровно один действительный корень \(x=\sqrt[3]{k}>0\). Значит, одно решение.
2. б) При \(k<0\) уравнение также сводится к \(x^3=k\) и имеет ровно один действительный корень \(x=\sqrt[3]{k}<0\). Значит, одно решение.
3. в) \(k/x=x^3\) равносильно \(x^4=k\). При \(k>0\) есть два корня: \(x=\pm\sqrt[4]{k}\). Значит, два решения.
4. г) При \(k<0\) равенство \(x^4=k\) невозможно, поскольку \(x^4\ge0\). Значит, решений нет.

Для проверки графика \(y=k/x\): его ветви лежат в I и III четвертях при \(k>0\), во II и IV при \(k<0\); координатные оси — асимптоты. Пересечения с графиками \(y=x^2\) и \(y=x^3\) должны соответствовать найденным корням.

Ответ: а) 1; б) 1; в) 2; г) 0 решений.