197. Сократите дробь: а) (3 + 3^1/2)/(3 − 3^1/2); б) 10/(10 − 10^1/2); в) (x − y)/(x^1/2 + y^1/2); г) (b^1/2 − 5)/(b − 25); д) (c + 2c^1/2d^1/2 + d)/(c − d); е) (m + n)/(m^2/3 − m^1/3n^1/3 + n^2/3).

Используем разность квадратов и формулы сокращённого умножения. В пунктах, где знаменатель после преобразования обращается в ноль, дробь не определена.

1. а) \(\frac{3+\sqrt3}{3-\sqrt3}=\frac{(3+\sqrt3)^2}{9-3}=2+\sqrt3\).
2. б) \(\frac{10}{10-\sqrt{10}}=\frac{10(10+\sqrt{10})}{100-10}=\frac{10+\sqrt{10}}9\).
3. в) \(x-y=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})\), поэтому дробь равна \(\sqrt{x}-\sqrt{y}\) (если знаменатель не равен нулю).
4. г) \(b-25=(\sqrt b-5)(\sqrt b+5)\), поэтому дробь равна \(\frac1{\sqrt b+5}\), если \(b\ne25\).
5. д) Числитель равен \((\sqrt c+\sqrt d)^2\), а знаменатель \((\sqrt c-\sqrt d)(\sqrt c+\sqrt d)\). Дробь равна \(\frac{\sqrt c+\sqrt d}{\sqrt c-\sqrt d}\), если знаменатель исходной дроби не равен нулю.
6. е) Числитель раскладывается по формуле суммы кубов: \(m+n=(m^{1/3}+n^{1/3})(m^{2/3}-m^{1/3}n^{1/3}+n^{2/3})\). После сокращения получаем \(m^{1/3}+n^{1/3}\), если исходный знаменатель не равен нулю.