Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 2. 1) Решите уравнение: \(3\cos^2x+\sin(\frac{\pi}{2}+x)-2=0\). 2) Решите уравнение: \(\sin 2x-2\sin x=\sqrt2\cos x-\sqrt2\).…Фото задания

Ответ:

  1. Используем тождество \(\sin(\frac{\pi}{2}+x)=\cos x\):

    \(3\cos^2x+\cos x-2=0\).

    Положим \(t=\cos x\). Тогда \(3t^2+t-2=(3t-2)(t+1)=0\), поэтому \(\cos x=\frac23\) или \(\cos x=-1\).

    Ответ: \(x=\pm\arccos\frac23+2\pi k\) или \(x=\pi+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).

  2. Перенесём всё в одну часть и используем \(\sin2x=2\sin x\cos x\):

    \(2\sin x(\cos x-1)-\sqrt2(\cos x-1)=0\), то есть \((\cos x-1)(2\sin x-\sqrt2)=0\).

    Отсюда \(\cos x=1\) или \(\sin x=\frac{\sqrt2}{2}\).

    Ответ: \(x=2\pi k\), \(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k\) или \(x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).

  3. Раскроем квадрат, используя \(\sin^2x+\cos^2x=1\) и \(2\sin x\cos x=\sin2x\):

    \((\sin x-\cos x)^2=1-\sin2x\).

    По условию \(1-\sin2x=\sin2x-1\), следовательно, \(\sin2x=1\).

    Тогда \(2x=\frac{\pi}{2}+2\pi k\).

    Ответ: \(x=\frac{\pi}{4}+\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).