4. а) Решите уравнение: \(\frac{2\sin^2x-\sin x}{2\cos x-1}=0\). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([\pi;\frac{5\pi}{2}]\) [правый край записи на изображении обрезан; верхняя граница предположительно \(\frac{5\pi}{2}\)].

Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

\(2\sin^2x-\sin x=\sin x(2\sin x-1)=0\). Поэтому \(\sin x=0\) или \(\sin x=\frac12\). Дополнительно требуется \(2\cos x-1\ne0\).

Из \(\sin x=0\): \(x=\pi k\). Из \(\sin x=\frac12\): \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\) или \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\). Ни одна из этих серий не обращает знаменатель в ноль.

а) Ответ: \(x=\pi k\), \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\) или \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).

Если отрезок в пункте б) — \([\pi;\frac{5\pi}{2}]\), из найденных корней в него входят \(\pi\), \(2\pi\) и \(\frac{13\pi}{6}\).

б) Ответ при указанной верхней границе: \(\pi,\ 2\pi,\ \frac{13\pi}{6}\). Для подтверждения границы отрезка нужен полный фрагмент изображения.