2.1. Упростите выражение (4a⁴c⁻³ )⁻¹ ⋅ (1/2 a⁻² c³) ².

Решение:

Упростим первое выражение, используя свойство \( (x^m y^n)^p = x^{mp} y^{np} \):

\( (4a^4c^{-3})^{-1} = 4^{-1} a^{4 \cdot (-1)} c^{-3 \cdot (-1)} = \frac{1}{4} a^{-4} c^3 \)

Упростим второе выражение, используя свойство \( (xy)^p = x^p y^p \) и \( (x^m)^p = x^{mp} \):

\( (\frac{1}{2} a^{-2} c^3)^2 = (\frac{1}{2})^2 (a^{-2})^2 (c^3)^2 = \frac{1}{4} a^{-4} c^6 \)

Теперь перемножим полученные выражения:

\( (\frac{1}{4} a^{-4} c^3) \cdot (\frac{1}{4} a^{-4} c^6) \)

\( = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot a^{-4} \cdot a^{-4} \cdot c^3 \cdot c^6 \)

Используя свойство \( x^m \cdot x^n = x^{m+n} \):

\( = \frac{1}{16} a^{-4 + (-4)} c^{3+6} \)

\( = \frac{1}{16} a^{-8} c^9 \)

Перепишем выражение, используя положительные степени:

\( = \frac{c^9}{16a^8} \)

Ответ: \( \frac{c^9}{16a^8} \).