3.2. Задача. Лыжник должен был проехать 10 км, чтобы в назначенное время вернуться в туристический лагерь. В середине пути он задержался на 15 мин, но, увеличив скорость на 10 км/ч, приехал в лагерь вовремя. Какова была первоначальная скорость лыжника?

Решение:

Обозначим первоначальную скорость лыжника как \( v \) км/ч. Тогда время, которое он должен был затратить на весь путь, равно \( t = \frac{10}{v} \) ч.

Лыжник проехал половину пути, то есть 5 км, с первоначальной скоростью \( v \). Время на этот участок: \( t_1 = \frac{5}{v} \) ч.

Затем он задержался на 15 минут, что составляет \( \frac{15}{60} = \frac{1}{4} \) часа.

На оставшиеся 5 км пути он увеличил скорость до \( v+10 \) км/ч. Время на этот участок: \( t_2 = \frac{5}{v+10} \) ч.

По условию задачи, лыжник приехал в лагерь вовремя. Это значит, что общее время в пути (время на первый участок + время задержки + время на второй участок) равно запланированному времени:

\( t_1 + \frac{1}{4} + t_2 = t \)

\( \frac{5}{v} + \frac{1}{4} + \frac{5}{v+10} = \frac{10}{v} \)

Вычтем \( \frac{5}{v} \) из обеих частей уравнения:

\( \frac{1}{4} + \frac{5}{v+10} = \frac{10}{v} - \frac{5}{v} \)

\( \frac{1}{4} + \frac{5}{v+10} = \frac{5}{v} \)

Перенесем \( \frac{5}{v+10} \) в правую часть:

\( \frac{1}{4} = \frac{5}{v} - \frac{5}{v+10} \)

Приведем правую часть к общему знаменателю \( v(v+10) \):

\( \frac{1}{4} = \frac{5(v+10) - 5v}{v(v+10)} \)

\( \frac{1}{4} = \frac{5v + 50 - 5v}{v^2 + 10v} \)

\( \frac{1}{4} = \frac{50}{v^2 + 10v} \)

Перемножим крест-накрест:

\( v^2 + 10v = 4 \cdot 50 \)

\( v^2 + 10v = 200 \)

\( v^2 + 10v - 200 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-200) = 100 + 800 = 900 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{900} = 30 \)

Найдем корни:

\( v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 + 30}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10 \)

\( v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 - 30}{2 \cdot 1} = \frac{-40}{2} = -20 \)

Так как скорость не может быть отрицательной, берем положительный корень.

Ответ: Первоначальная скорость лыжника была 10 км/ч.