2. (16 баллов) Для треугольника ABC на продолжении стороны CA за точку A отметили точку B₁, такую что AB₁ = AB; на продолжении стороны BC за точку C отметили точку A₁, такую что CA₁ = AB; на продолжении стороны AB за точку B отметили точку C₁, такую что BC₁ = AC. Полученный треугольник A₁B₁C₁ оказался равносторонним. Найдите угол CAB.

Обозначим длины сторон исходного треугольника через AB = c, AC = b, BC = a, а угол CAB — через α. По теореме косинусов a² = b² + c² − 2bc cos α.

Удобно задать координаты: A = (0, 0), B = (c, 0), C = (b cos α, b sin α). Условия продолжения сторон дают координаты построенных точек:

B₁ = −(c/b)C, A₁ = C + (c/a)(C − B), C₁ = B + (b/c)(B − A).

Подставляем эти координаты в условия равносторонности: |A₁B₁|² = |B₁C₁|² и |B₁C₁|² = |C₁A₁|². Раскрывая скобки и используя a² = b² + c² − 2bc cos α, получаем 2 cos α = 1.

Следовательно, α = 60°.

Ответ: ∠CAB = 60°.