2. (2 балла) Решите уравнение: a) \(\sin x - \cos x = 0\) б) \(\cos^2 x + \cos x = 0\)

Решение:

а) \(\sin x - \cos x = 0\)

Перенесём \(\cos x\) в правую часть:

\( \sin x = \cos x \)

Разделим обе части на \(\cos x\) (при условии, что \(\cos x \neq 0\)):

\( \frac{\sin x}{\cos x} = 1 \)

Получаем тангенс:

\( \operatorname{tg} x = 1 \)

Отсюда находим \(x\):

\( x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)

Проверка условия \(\cos x \neq 0\): При \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \), \(\cos x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \neq 0 \), значит, решение верно.

б) \(\cos^2 x + \cos x = 0\)

Вынесем \(\cos x\) за скобки:

\( \cos x (\cos x + 1) = 0 \)

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1. \( \cos x = 0 \)

Это происходит при:

\( x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \)

2. \( \cos x + 1 = 0 \)

Отсюда:

\( \cos x = -1 \)

Это происходит при:

\( x = \pi + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z} \)

Ответ: а) \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \); б) \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \) и \( x = \pi + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z} \).