2. (2 балла) Упростите выражение \( \frac{\sqrt{12}-\sqrt{8}}{2} - \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \).

Решение:

Сначала упростим первое слагаемое:

\( \frac{\sqrt{12}-\sqrt{8}}{2} = \frac{\sqrt{4\cdot3}-\sqrt{4\cdot2}}{2} = \frac{2\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{3}-\sqrt{2} \)

Теперь упростим второе слагаемое, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( \sqrt{3}+\sqrt{2} \):

\( \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{1(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{1} = \sqrt{3}+\sqrt{2} \)

Теперь вычтем второе упрощенное слагаемое из первого:

\( (\sqrt{3}-\sqrt{2}) - (\sqrt{3}+\sqrt{2}) = \sqrt{3}-\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{2} = -2\sqrt{2} \)

Ответ: -2\(\sqrt{2}\)