б) (2 балла) Какое наименьшее значение может принимать выражение a(a+2) - (b+1)(2-b)?

Решение:

Раскроем скобки и упростим выражение:

\( a(a + 2) - (b + 1)(2 - b) \)

\( = a^2 + 2a - (2b - b^2 + 2 - b) \)

\( = a^2 + 2a - (b - b^2 + 2) \)

\( = a^2 + 2a - b + b^2 - 2 \)

Сгруппируем члены для \( a \) и \( b \):

\( (a^2 + 2a) + (b^2 - b) - 2 \)

Выделим полные квадраты:

\( (a^2 + 2a + 1) - 1 + (b^2 - b + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} - 2 \)

\( = (a + 1)^2 - 1 + (b - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} - 2 \)

\( = (a + 1)^2 + (b - \frac{1}{2})^2 - 1 - \frac{1}{4} - 2 \)

\( = (a + 1)^2 + (b - \frac{1}{2})^2 - \frac{4}{4} - \frac{1}{4} - \frac{8}{4} \)

\( = (a + 1)^2 + (b - \frac{1}{2})^2 - \frac{13}{4} \)

Наименьшее значение \( (a + 1)^2 \) равно 0 (при \( a = -1 \)).

Наименьшее значение \( (b - \frac{1}{2})^2 \) равно 0 (при \( b = \frac{1}{2} \)).

Следовательно, наименьшее значение всего выражения достигается, когда оба квадрата равны нулю:

\( 0 + 0 - \frac{13}{4} = - \frac{13}{4} \)

\( - \frac{13}{4} = -3.25 \)

Ответ: -3.25