3. (2 балла) Два брата на электросамокатах стартовали одновременно из одной точка. Один ехал со скоростью 30 км/ч, другой — 18 км/ч. Через некоторое время быстрый развернулся и поехал обратно. Через 30 минут после старта они встретились. Через сколько минут после старта он развернулся?

Решение:

Пусть \( t \) — время в часах, через которое встретились братья, \( t_r \) — время в часах, через которое развернулся быстрый брат.

Скорость быстрого брата \( v_1 = 30 \) км/ч.

Скорость медленного брата \( v_2 = 18 \) км/ч.

Время встречи \( T = 30 \) минут = \( 0.5 \) часа.

Расстояние, пройденное быстрым братом до разворота: \( S_1 = v_1 · t_r = 30 t_r \).

Время движения быстрого брата после разворота: \( 0.5 - t_r \).

Расстояние, которое проехал быстрый брат обратно: \( S_{1\text{обр}} = v_1 · (0.5 - t_r) = 30(0.5 - t_r) = 15 - 30t_r \).

Общее расстояние, которое проехал быстрый брат: \( S_1 + S_{1\text{обр}} = 30t_r + 15 - 30t_r = 15 \) км.

Расстояние, которое проехал медленный брат за 0.5 часа: \( S_2 = v_2 · 0.5 = 18 · 0.5 = 9 \) км.

В момент встречи братья находились в одной точке. Если предположить, что они стартовали из точки 0, то медленный брат находится на отметке 9 км. Быстрый брат проехал 15 км. Поскольку он развернулся, его текущее положение будет \( 15 - 2 · (15 - 9) \) или \( 15 - 2 · 6 = 3 \) км, что не сходится.

Переформулируем условие встречи. В момент встречи сумма пройденных ими расстояний будет равна удвоенному расстоянию от точки старта до точки разворота быстрого брата, если они движутся навстречу друг другу после разворота. Это не так.

Пусть \( t_r \) — время в часах до разворота. Тогда быстрый брат проехал \( 30t_r \). Медленный брат проехал \( 18t_r \).

После разворота быстрый брат едет обратно. Время до встречи \( 0.5 \) часа. Время движения быстрого брата обратно \( 0.5 - t_r \).

Расстояние, которое проехал быстрый брат обратно: \( 30(0.5 - t_r) = 15 - 30t_r \).

Расстояние, которое проехал медленный брат за \( 0.5 \) часа: \( 18 · 0.5 = 9 \) км.

В момент встречи быстрый брат вернулся в точку, где находился медленный брат. Медленный брат за \( 0.5 \) часа проехал 9 км. Быстрый брат за \( t_r \) часов проехал \( 30t_r \) и вернулся обратно. То есть, его общее пройденное расстояние равно \( 30t_r + 30(0.5-t_r) = 30t_r + 15 - 30t_r = 15 \) км.

Расстояние от старта до места встречи равно 9 км для медленного брата. Для быстрого брата, он проехал \( 30t_r \) вперед, потом вернулся. Следовательно, его положение на линии равно \( 30t_r - 30(0.5-t_r) \) или \( 30t_r - (15 - 30t_r) = 60t_r - 15 \). Поскольку они встретились, их положения равны:

\( 9 = 60t_r - 15 \)

\( 60t_r = 24 \)

\( t_r = \frac{24}{60} = \frac{2}{5} = 0.4 \) часа.

Переведём в минуты:

\( 0.4 · 60 = 24 \) минуты.

Ответ: 24