7. а) (2 балла) Докажите, что выражение а(а + 2) - (b + 1)(1 - b) + 4 положительно при любых значениях а и в.

Решение:

Раскроем скобки и упростим выражение:

\( a(a + 2) - (b + 1)(1 - b) + 4 \)

\( = a^2 + 2a - (b - b^2 + 1 - b) + 4 \)

\( = a^2 + 2a - (-b^2 + 1) + 4 \)

\( = a^2 + 2a + b^2 - 1 + 4 \)

\( = a^2 + 2a + b^2 + 3 \)

Теперь выделим полный квадрат для членов с \( a \):

\( (a^2 + 2a + 1) - 1 + b^2 + 3 \)

\( = (a + 1)^2 + b^2 + 2 \)

Выражение \( (a + 1)^2 \) всегда больше или равно нулю, так как это квадрат любого действительного числа.

Выражение \( b^2 \) также всегда больше или равно нулю.

Следовательно, \( (a + 1)^2 + b^2 \) всегда больше или равно нулю.

Добавляя \( 2 \) к неотрицательному выражению, мы получаем:

\( (a + 1)^2 + b^2 + 2 ≥ 0 + 2 = 2 \).

Таким образом, \( (a + 1)^2 + b^2 + 2 \) всегда больше или равно 2, что означает, что выражение положительно при любых значениях \( a \) и \( b \).

Доказано.